Задание 3 по математике ГИА.

11 Ноя 2013, Автор: Сергей Панчешный

Kvadratnyiy koren Задание 3 по математике ГИА.     Сегодня мы приступаем к рассмотрению и решению  задания 3  по математике ГИА. Арифметические квадратные корни и их свойства. Но прежде, чем начать сами решения,  давайте вспомним чуть-чуть теории по данному вопросу. Итак:

1. Извлечение корня есть действие, обратное возведению в степень, т.е. если b² = a, то √а= b. Но при возведении в степень b может быть как положительным, так и отрицательным. А как быть с извлечением корня? Считать положительным или отрицательным результат извлечения? Для устранения данной неопределённости договорились, что при извлечении из числа квадратного корня ответом будет положительное число, за исключением 0. Назвали такой корень – арифметическим.
Т.е. √0 = 0
 √9 = 3
 √1 = 1
 √4 = 2 и т.д.

2. Введём понятие рационального числа. Рациональным называют число, которое можно привести к виду m/n. При том, что m – целое число (0;±1;±2;±3 и т.д.) а n – натуральное (1,2,3…). Например: -5 = -5/1;  2 ¾ = 11/4;   0,6 = 6/10 = 3/5  0 = 0/1.
Однако, при извлечении квадратного корня не всегда можно получить рациональное число. К примеру, все квадратные корни из простых чисел 3,5,11,13,17 невозможно представить в виде дроби m/n. Можно вычислить только приблизительные значения данных чисел. Эти числа называются иррациональными.

3. Теперь вспомним одну аксиому, которая очень пригодится нам в решении 3 задания. А именно: если нам дано неравенство с обеими положительными частями, то мы можем данное неравенство возводить в степень. При этом знак неравенства не изменится. Другими словами¸ если а>b, то а в степени  n больше b в степени n, при условии, что  а>0, b≥0.

4. И ещё немного теории. (mn)ª  = mª·nª и обратно mª·nª=(mn)ª. Таким же образом, при а≥0 и b≥0
√ab = √a·√b и наоборот √a·√b = √ab.

5. А при возведении в степень дроби имеем (m/n)ª = mª/nª, и обратно mª/nª = (m/n)ª.

Ну, а теперь мы можем приступить к решению задания 3 по математике ГИА:

1. Укажите наибольшее из следующих чисел:
2√13       7     √55          2√14
Приведём все числа к одному виду, а именно внесём всё под корень, получим
2√13 = √2²·13 = √4·13 = √52
7 = √7² = √49
2√14 = √2²·14 = √4·14 = √56    Наибольшее из чисел √56 или 2√14.

2. Укажите наименьшее из следующих чисел:
3√7       8     √62          √65
8 = √8² = √64
3√7 = √3²·7 = √9·7 = √63      Наименьшее число  √62

3. Укажите наименьшее из следующих чисел:
√22       4,5     2√6        2√5
4,5 = 4  1/2 = 9/2 = √(9/2)² = √(81/4) = √20,25
2√6  = √2²·6 = √4·6 = √24
2√5 = √2²·5 = √4·5 = √20  Здесь мы видим, что число   2√5  наименьшее.

4. Укажите наибольшее из следующих чисел:
√101       10     7√2         3√11
10 = √10² = √100
7√2 = √7²·2 = √49·2 = √98
3√11 = √3²·11 = √9·11 = √99
Здесь можно увидеть, что наибольшее из чисел  √101.

5. Укажите наименьшее из следующих чисел:
7       8     5√3        3√5
7 = √7² = √49
5√3 = √5²·3 = √25·3 = √75
3√5 = √3²·5 = √9·5 = √45  В данном примере наименьшее из чисел  √45 или   3√5.

6. Между какими соседними целыми числами расположено число 5√6 + 1
а< 5√6 + 1<а+1 Из этого двойного неравенства имеем  5√6 + 1<а+1, или   5√6<а.
Теперь возведём правую и левую часть неравенства в квадрат, получим
25·6 <а², или  а²>150= 144+6 = 12²+6, т.е. а²>(12²+6), Отсюда имеем а>12.
Ближайшее целое  а = 13, а  а+1 = 14.
Значит,  число 5√6 + 1 расположено между соседними целыми 13 и 14.

7. Между какими соседними целыми числами расположено число 2√17 – 2
m-3<2√17 – 2<m-2  Отсюда имеем   2√17 – 2<m-2, или   2√17<m.
Возводим в квадрат, получаем: 4·17<m² или m²>68= 64 + 4 = 8²+4, т.е. m²>(8²+4). Отсюда имеем m>8.
Ближайшее целое 9. Но нам надо m-2  и  m-3, т.е. 9-2 и 9-3, или 7 и 6.
Значит, искомое число 2√17 – 2 расположено между соседними целыми 6 и 7.

8. Между какими соседними целыми числами расположено значение выражения (√11+1)².
Имеем: (√11+1)² = (11 + 2·1·√11 + 1) =  2√11+12, Рассматриваем, как в предыдущих случаях:
к+11<2√11+12<к+12, или  2√11+12<к+12, → 2√11<к.
Возводим в квадрат, получаем: 4·11<к², или к²>44 = 36+8 =6²+8, т.е. к²>(6²+8). Отсюда имеем к>6.
Ближайшее целое  к числу к>6 есть число 7. Но нам надо к+11 и к+12, т.е. 7+11 и 7+12 или 18 и 19.

9. Найти значение выражения (2√12)²/24
Считаем: (2√12)²/24 = 2²·12/24 = 4·12/24 = 48/24 = 2

10. Найти значение выражения (1  3/4) ·(√2/√98)
(1  3/4) ·(√2/√98)  = 7/4 ·√(2/98) = 7/4 ·√(1/49) = 7/4· 1/7 = 1/4 = 0,25

На сегодня мы закончили решение примеров из задания 3  по математике ГИА. До новых встреч! Успехов!

Ваше мнение

Яндекс.Метрика